Question

已知直線l經過原點，若A（0，-1）、B（8，0）關于直線l的對稱點都在二次函數f（x）=ax²的圖象C上，求直線l的方程與二次函數f（x）的解析式．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：先設出直線l的方程，根據A′、B′分別是A、B關于l的對稱點，進而可知A′A⊥l，進而可得直線A′A的方程，把兩直線方程聯立求得交點M的坐標，進而根據M為AA′的中點，求得A′點的坐標和B′的坐標，分別代入拋物線方程求得方程組，最后聯立求得k，進而求a，則直線和拋物線的方程可得．

解答： 解：設直線l為y=kx（k≠0）①，
設A′、B′分別是A、B關于l的對稱點，因而A′A⊥l，直線A′A的方程為y=-

1

k

x-1②
由①、②聯立解得AA′與l的交點M的坐標為（-

k

k2+1

，-

k2

k2+1

）；
又M為A′A的中點，則A′（-

2k

k2+1

，-

k2-1

k2+1

）；
同理B′（

16k

k2+1

，-

8(k2-1)

k2+1

）；
又A′，B′均在拋物線f（x）=ax²上得，

1-k2= 4ak2 k2+1 k=4a (1-k2)2 1+k2

；
故

1-k2

k

=

k2

(1-k2)2

；
故k²+k-1=0；
故k=

-1± 5

2

，
當k=

-1- 5

2

時，a=-

5

2

；
故y=

-1- 5

2

x，f（x）=-

5

2

x²；
當k=

-1+ 5

2

時，a=

5

2

；
故y=

-1+ 5

2

x，f（x）=

5

2

x²．

點評：本小題考查直線與拋物線的基本概念和性質，解析幾何的基本思想方法以及綜合運用知識解決問題的能力．