Question

【題目】已知是滿足下列條件的集合：①，；②若，則；③若且，則．

（1）判斷是否正確，說明理由；

（2）證明：“”是“”的充分條件；

（3）證明：若，則．

Answer 1

【答案】（1）正確，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）根據條件依次確定M元素：，

（2）利用數學歸納法證明充分性成立，

（3）根據條件依次確定M元素：

證明如下：

（1）正確，證明如下：

由①，，由②知；

從而，；

由③知；

（2）由②知，若，則，故只需證明任意正整數即可；

由（1）知，，假設正整數，則；

由數學歸納法知：任意正整數；

即“”是“”的充分條件；

（3）先證：若，則：

由②知，若，∵，∴則；

由③知，且

于是，從而

由②知，，

再證：若，則

由上述證明可知，又，則

于是，同理，從而

∴，于是，

∴，同理

∴