Question

【題目】已知函數

（1）若，是否存在，使得為偶函數，如果存在，請舉例并證明，如果不存在，請說明理由；

（2）若，判斷在上的單調性，并用定義證明；

（3）已知，存在，對任意，都有成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）見解析；

（3）.

【解析】

（1）將代入證明為偶函數即可。

（2）代入，先判斷函數為單調遞減函數，再根據定義法代入作差即可證明為單調遞減函數。

（3）去絕對值化簡不等式，根據全稱命題與特稱命題的成立關系可得，分兩段不等式求解即可。

（1）存在使為偶函數，

此時：，

證明：的定義域為關于原點對稱，

且

為偶函數。

（2），且，，

在上為減函數

證明：任取，且，

，即

在上為減函數

（3）,,

對任意，存在，使得成立，

即存在，使得，

當時，為增函數或常函數，

此時，則有恒成立

當時，

當時，

綜上所述：.