Question

18．給出定義：若m-$\frac{1}{2}$＜x≤m+$\frac{1}{2}$（其中m為整數），則m叫做離實數x最近的整數，記作[x]=m．在此基礎上給出下列關于函數f（x）=|x-[x]|的四個結論：
①函數y=f（x）的定義域為R，值域為[0，$\frac{1}{2}}$]；
②函數y=f（x）的圖象關于直線x=$\frac{k}{2}$（k∈Z）對稱；
③函數y=f（x）是偶函數；
④函數y=f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}}$]上是增函數，其中正確的結論的序號是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ②③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 根據讓函數解析式有意義的原則確定函數的定義域，然后根據解析式易用分析法求出函數的值域；根據f（k-x）與f（-x）的關系，可以判斷函數y=f（x）的圖象是否關于直線x=$\frac{K}{2}$（k∈Z）對稱；再判斷f（-x）=f（x）是否成立，可以判斷③的正誤；而由①的結論，易判斷函數y=f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上的單調性，但要說明④不成立，我們可以舉出一個反例．

解答 解：①中，令x=m+a，a∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
∴f（x）=|x-[x]|=|a|∈[0，$\frac{1}{2}$]
故①正確；
②中∵f（k-x）=|（k-x）-[k-x]|=|（-x）-[-x]|=f（x），
所以關于x=$\frac{K}{2}$對稱，故②正確；
③中，∵f（-x）=|（-x）-[-x]|=|x-[x]|=f（x），
所以f（x）為偶函數，故③正確；
④中，x=-$\frac{1}{2}$時，m=-1，f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，x=$\frac{1}{2}$時，m=0，
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$所以f（-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）故④錯誤．
故選：A

點評 本題考查的知識點是利用函數的三要素、性質判斷命題的真假，我們要根據定義中給出的函數，結合求定義域、值域的方法，及對稱性、周期性和單調性的證明方法，對4個結論進行驗證．