Question

7．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，t）（t∈R），$\overrightarrow{n}$=（sinx-cosx，1），函數(shù)y=f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，將y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{8}$個單位長度后得到y(tǒng)=g（x）的圖象且y=g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{4}$]內的最大值為$\sqrt{2}$．
（1）求t的值及y=f（x）的最小正周期；
（2）設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若$\sqrt{2}$g（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{4}$）=-1，a=2，求BC邊上的高的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量數(shù)量積公式和輔助角公式推知f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+t-1，由此求得該函數(shù)的最小正周期；根據三角函數(shù)的恒等變換求得函數(shù)g（x）=$\sqrt{2}$sin2x+t-1，根據正弦函數(shù)的值域的求法可以得到t的值；
（2）由$\sqrt{2}$g（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{4}$）=-1求得A，再結合正弦定理和余弦定理求BC邊上的高的最大值．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}$=（2cosx，t），$\overrightarrow{n}$=（sinx-cosx，1），
∴函數(shù)y=f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2sinxcosx-2cos²x+t=sin2x-cos2x+t-1=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+t-1，
將y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{8}$個單位長度后，得g（x）=$\sqrt{2}$sin2x+t-1的圖象，
（1）當0≤x≤$\frac{π}{4}$時，0≤2x≤$\frac{π}{2}$，
∴$g{（x）}_{max}=\sqrt{2}+t-1=\sqrt{2}$，得t=1．
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）∵$\sqrt{2}$g（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{4}$）=-1，
∴$\sqrt{2}$g（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{4}$）=2[sin（A-$\frac{π}{2}$）=-2cosA=-1，
解得：cosA=$\frac{1}{2}$，
故A=$\frac{π}{3}$，
又∵a=2，
此時△ABC的外接圓O中，a邊2所對的圓角角為$\frac{π}{3}$，
故當△ABC為等邊三角形時，
a邊上的高取最大值$\sqrt{3}$．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，主要考查了正弦定理，余弦定理，及三角函數(shù)的誘導公式，考查了基礎的知識的綜合運用，是中檔題．