Question

19．已知命題P：方程x²+kx+4=0有兩個不相等的負實數(shù)根；命題q：過點（1，2）總可以作兩條直線與圓x²+y²+kx+2y+k²-15=0相切，若p∨q”為真，p∧q為假，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 若p∨q”為真，p∧q為假，則p，q一真一假，進而答案．

解答 解：對于P：$\left\{{\begin{array}{l}{△＞0}\\{{x_1}+{x_2}＜0}\\{{x_1}{x_2}＞0}\end{array}}\right.$，則得k＞4（2分）
對于q：把圓的方程化為標準方程得（x+$\frac{k}{2}$）²+（y+1）²=16-$\frac{3k2}{4}$
所以16-$\frac{3k2}{4}$＞0，解得-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$＜k＜$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
由題意知點（1，2）應(yīng)在已知圓的外部，
把點代入圓的方程得1+4+k+4+k²-15＞0，
即（k-2）（k+3）＞0，解得k＞2或k＜-3，
則實數(shù)k的取值范圍是-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$＜k＜-3，或2＜k＜$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．（7分）
若p∨q”為真，p∧q為假，則p，q一真一假
（1）p為真，q為假時，易得k∈（4，+∞）．（9分）
（2）p為假，q為真時，易得$k∈（-\frac{8\sqrt{3}}{3}，-3）∪（2，4]$（11分）
所以所求實數(shù)m的取值范圍是$k∈（-\frac{8\sqrt{3}}{3}，-3）∪（2，+∞）$（12分）

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，方程根的個數(shù)，直線與圓的位置關(guān)系等知識點，難度中檔．