Question

已知向量

an

=（cos2nθ，sinnθ），

bn

=（1，2sinnθ）（n∈N^*），若C_n=

an

•

bn

+2ⁿ，
（1）求數列{C_n}的通項公式；
（2）求數列{C_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列與三角函數的綜合,平面向量數量積的運算,任意角的概念

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）由已知利用向量的數量積和三角函數的性質得C_n=

an

•

bn

+2ⁿ=cos²nθ+2sin²nθ+2ⁿ=2ⁿ+1，n∈N^*．
（2）利用分組求和法能求出數列{C_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）∵向量

an

=（cos2nθ，sinnθ），

bn

=（1，2sinnθ）（n∈N^*），
∴C_n=

an

•

bn

+2ⁿ=cos²nθ+2sin²nθ+2ⁿ=2ⁿ+1，n∈N^*．
（2）S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ+n
=

2(1-2n)

1-2

+n
=2ⁿ⁺¹+n-2，n∈N^*．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要注意分組求和法的合理運用．