Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線為l，焦點為F，圓M的圓心在x軸的正半軸上，圓M與y軸相切，過原點O作傾斜角為

π

3

的直線n，交直線l于點A，交圓M于不同的兩點O、B，且|AO|=|BO|=2．
（1）求圓M和拋物線C的方程；
（2）若P為拋物線C上的動點，求

PM

•

PF

的最小值；
（3）過直線l上的動點Q向圓M作切線，切點分別為S、T，求證：直線ST恒過一個定點，并求該定點的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）根據

p

2

=1=OA•cos60°可求出p的值，從而求出拋物線方程，求出圓心和半徑可求出⊙M的方程．
（2）先表示出

PM

•

PF

，然后根據點在拋物線上將y消去，求關于x 的二次函數的最小值即可．
（3）以點Q這圓心，QS為半徑作⊙Q，則線段ST即為⊙Q與⊙M的公共弦，設點Q（-1，t），根據QS²=QM²-4=t²+5，求出直線ST的方程，使直線與t無關，可求出定點坐標．

解答： （1）解：因為

p

2

=OA•cos60°=2×

1

2

=1，
即p=2，所以拋物線C的方程為y²=4x，
設⊙M的半徑為r，則r=

OB

2

×

1

cos60°

=2，
所以⊙M的方程為（x-2）²+y²=4．
（2）解：設P（x，y）（x≥0），
則

PM

•

PF

=（2-x，-y）•（1-x，-y）=x²-3x+2+y²=x²+x+2，
所以當x=0時，

PM

•

PF

有最小值為2．
（3）證明：以點Q這圓心，QS為半徑作⊙Q，
則線段ST即為⊙Q與⊙M的公共弦，
設點Q（-1，t），則QS²=QM²-4=t²+5，
∴⊙Q的方程為（x+1）²+（y-t）²=t²+5，
從而直線ST的方程為3x-ty-2=0（*），

x= 2 3 y=0

一定是方程（*）的解，
∴直線ST恒過一個定點，且該定點坐標為（

2

3

，0）．

點評：本題主要考查了圓的方程和拋物線方程，以及向量數量積的最值和直線恒過定點問題，是一道綜合題，有一定的難度．