Question

已知函數f（x）=e^x-x（e為自然對數的底數）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若不等式f（x）＞ax的解集為P，若M={x|

1

2

≤x≤

3

2

}，且M∩P≠φ，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的概念及應用

分析：（1）先求導數，然后根據函數的單調性研究函數的極值點，連續函數f（x）在區間（a，b）內只有一個極值，那么極小值就是最小值；
（2）根據不等式f（x）＞ax的解集為P，且{x|

1

2

≤x≤2}且兩個集合的交集不是空集，可轉化成，對任意的x∈[

1

2

，2]，不等式f（x）＞ax有解，將（1+a）x＜e^x變形為 a＜

ex

x

-1，令g（x）=

ex

x

-1，利用導數研究g（x）的最大值，使a小于最大值即可．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x-1，由f′（x）=0得x=0，
當x＞0時f′（x）＞0，
當x＜0時f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增，在（-∞，0）上單調遞減，
∴f（x）_max=f（0）=1．
（2）∵M∩P≠∅，∴f（x）＞ax在區間[

1

2

，

3

2

]上有解，
由f（x）＞ax，得e^x-x＞ax，即a＜

ex

x

-1在[

1

2

，

3

2

]上有解，
令g（x）=

ex

x

-1，x∈[

1

2

，

3

2

]，
∵g′（x）=

ex(x-1)

x2

，
∴g（x）在[

1

2

，1]上單調遞減，[1，

3

2

]上單調遞增，
又g（

1

2

）=2

e

-1，g（

3

2

）=

2

3

e 

3

2

-1，且g（

1

2

）＞g（

3

2

），
g（x）_max=g（

1

2

）=2

e

-1，
∴a＜2

e

-1．

點評：本題主要考查了利用導數求閉區間上函數的最值，一般有解求參數問題常常將參數進行分離，轉化成研究已知函數在某個區間上的最值問題，屬于中檔題．