Question

如圖，直線λ與半徑為1的圓F相切于C．動點P到直線λ的距離為d，已知

|PF|

d

=

2

2

，且

2

3

≤d≤

3

2

．
（Ⅰ）建立適當的直角坐標系，求點P運動形成的軌跡方程；
（Ⅱ）若點G滿足

GF

=2

FC

，點M滿足

MP

=3

PF

且線段MG的垂直平分線經過P，求△PGF的面積．

Answer 1

考點：軌跡方程,正弦定理

專題：計算題,平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用兩點的距離公式及點到直線的距離公式將已知幾何條件用坐標表示，化簡求出軌跡方程，注意求出定義域．
（2）利用已知條件的向量關系求出G為左焦點，利用中垂線的性質及橢圓的定義列出方程組，求出三角形PGF的三邊長，利用勾股定理判斷出三角形的性質，利用三角形的面積公式去求出三角形的面積．

解答： 解：（1）以CF所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，
設動點P的坐標為（x，y），F（1，0），直線λ：x=2
則|PF|=

(x-1)2+y2

，d=|2-x|，
則

(x-1)2+y2

|2-x|

=

2

2

，
化簡得

x2

2

+y²=1
又

2

3

≤d=2-x≤

3

2

∴

1

2

≤x≤

4

3

，
即動點p的軌跡方程為

x2

2

+y²=1（

1

2

≤x≤

4

3

）；
（2）由已知，得|

FG

|=2|

FC

|=2，
∴G為左焦點
又∵

| PG |=| PM |=3| PF | | PG |+| PF |=2 2

，
∴

| PF |= 2 2 | PG |= 3 2 2

，
又∵|

GF

|=2，
∴|

PF

|²+|

GF

|²=|

PG

|²，
∴△PGF為直角三角形．
∴S△PFG=

1

2

|

PF

|•|

FG

|=

1

2

×

2

2

×2=

2

2

．

點評：本題考查求軌跡方程時，在化簡方程時要注意同解變形，求出方程的定義域、考查解決焦點三角形問題�？紤]利用圓錐曲線的定義．