Question

某發電廠在節能減排的科研活動中，對熱能與電能的轉化和燃煤每分鐘的添加量之間的關系進行科學研究，對該廠A號機組的跟蹤調研中發現，若該機組每分鐘燃煤的添加量設計標準為a噸，在正常狀態下，通過自動傳輸帶給該機組每分鐘添加燃煤x噸，理論上可以生產電能x³-x+10千瓦，而由于實際添加量x與設計標準a存在誤差，實際上會導致電能損耗2|x-a|千瓦，最終生產的電能為f（x）千瓦．
（1）試寫出f（x）關于x的函數表達式，并求出f（x）的單調增區間；
（2）該科研小組決定調整設計標準a，控制添加量x∈[

1

2

，

3

2

]（單位：噸），實現對最終生產的電能f（x）的有效控制的科學實驗，若某次試驗中a∈[

1

2

，1]（單位：噸），用電高峰期間，要求該廠的輸出電能為每分鐘不低于9千瓦，否則將供電不正常，試問這次實驗能否實現這個目標？

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：計算題,應用題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意，f（x）=x³-x+10-2|x-a|=

x3-3x+10+2a，x≥a x3+x+10-2a，0＜x＜a

，從而由導數寫出函數的單調區間；
（2）當

1

2

≤a＜1時，f（x）在[

1

2

，a），[1，

3

2

]上單調遞增，在（a，1）上單調遞減，從而化恒成立問題為最值問題．

解答： 解：（1）由題意，
f（x）=x³-x+10-2|x-a|
=

x3-3x+10+2a，x≥a x3+x+10-2a，0＜x＜a

，
∵當0＜x＜a時，f′（x）=3x²+1＞0，
∴f（x）在（0，a）上單調遞增，
當x≥a時，f′（x）=3x²-3，
故當0＜a＜1時，f（x）在[1，+∞）上單調遞增，
當a≥1時，f（x）在[a，+∞）上單調遞增，
故當0＜a＜1時，f（x）單調增區間為（0，a），[1，+∞）；
當a≥1時，f（x）單調增區間為R；
（2）當

1

2

≤a＜1時，f（x）在[

1

2

，a），[1，

3

2

]上單調遞增，在（a，1）上單調遞減，
且f（

1

2

）=

1

8

+

1

2

+10-2a有可能小于9，
故這次實驗不能實現這個目標．

點評：本題考查了學生將實際問題轉化為數學問題的能力及分段函數的最值問題，屬于中檔題．