Question

已知正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AA₁=AB=a，D是CC₁的中點，F是A₁B的中點，A₁D與AC的延長線交于點M（如圖），
（Ⅰ）求證：DF∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：AF⊥BD．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質,空間中直線與直線之間的位置關系,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）取AB中點E，連結CE，FE，由已知得EFDC是平行四邊形，由此能證明DF∥平面ABC．
（Ⅱ）由已知得CE⊥AB，CE⊥AA₁，CE⊥平面ABA₁，CE⊥AF，從而DF⊥AF，由AA₁=AB=a，F是A₁B的中點，得AF⊥A₁B，從而AF⊥平面A₁BD，由此能證明AF⊥BD．

解答： （Ⅰ）證明：取AB中點E，連結CE，FE，
由已知得EF∥CD，且EF=CD，
∴EFDC是平行四邊形，
∴DF∥CE，
∵DF不包含于平面ABC，CE?平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
（Ⅱ）證明：∵正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，E是AB中點，
∴CE⊥AB，CE⊥AA₁，
又AB∩AA₁=A，∴CE⊥平面ABA₁，
∴CE⊥AF，
∵DF∥CE，∴DF⊥AF，
∵AA₁=AB=a，D是CC₁的中點，F是A₁B的中點，
∴AF⊥A₁B，
又DF∩A₁B=F，∴AF⊥平面A₁BD，
∵BD?平面A₁BD，∴AF⊥BD．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線垂直的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．