Question

14．已知函數f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{2^x}-\frac{a}{3}，x≤0}\\{lnx-2x+a，x＞0}\end{array}}$有三個不同的零點，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （1+ln2，3]
• B． （ln2，3]
• C． （0，1+ln2）
• D． （0，3]

Answer 1

分析 求出當x＞0時的函數的導數，研究函數的極值，利用分段函數的性質進行判斷求解即可．

解答 解：當x＞0時，函數f（x）=lnx-2x+a，此時函數的導數f′（x）=$\frac{1}{x}$-2=$\frac{1-2x}{x}$，
由f′（x）＞0得0＜x＜$\frac{1}{2}$，此時函數遞增，
由f′（x）＜0得x＞$\frac{1}{2}$，此時函數遞減，
即當x=$\frac{1}{2}$時，函數取得極大值，f（$\frac{1}{2}$）=ln$\frac{1}{2}$-1+a=-1-ln2+a，
當x→0時，f（x）=lnx-2x+a→-∞，
當x≤0時，函數f（x）=2^x-$\frac{a}{3}$為增函數，且此時-$\frac{a}{3}$＜f（x）≤1-$\frac{a}{3}$，
要使函數f（x）有三個不同的零點，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{3}＜0}\\{1-\frac{a}{3}≥0}\\{-1-ln2+a＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≤3}\\{a＞1+ln2}\end{array}\right.$，
即1+ln2＜a≤3，
即實數a的取值范圍是（1+ln2，3]，
故選：A．

點評 本題考查根的存在性及根的個數的判斷，數形結合以及求函數的導數判斷函數的極值是解決問題的關鍵，屬中檔題