Question

7．圓C經過直線x+y-1=0與x²+y²=4的交點，且圓C的圓心為（-2，-2），則過點（2，4）向圓C作切線，所得切線方程為（　　）

• A． 5x-12y+38=0
• B． 5x+12y+38=0
• C． 5x-12y+38=0或x=2
• D． 5x+12y+38=0或x=4

Answer 1

分析 聯立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得交點，可得：圓C的標準方程為：（x+2）²+（y+2）²=16．過點（2，4）向圓C作切線，直線x=2時滿足條件．切線斜率存在時，設切線方程為：y-4=k（x-2），即kx-y+4-2k=0，可得$\frac{|-2k+2+4-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4，解得k即可得出．

解答 解：聯立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{7}}{2}}\\{y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}}\\{y=\frac{1+\sqrt{7}}{2}}\end{array}\right.$，
∴圓C的標準方程為：（x+2）²+（y+2）²=$（\frac{1+\sqrt{7}}{2}+2）^{2}$+$（\frac{1-\sqrt{7}}{2}+2）^{2}$=16．
過點（2，4）向圓C作切線，直線x=2時滿足條件．
切線斜率存在時，設切線方程為：y-4=k（x-2），即kx-y+4-2k=0，
則$\frac{|-2k+2+4-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4，解得k=$\frac{5}{12}$．可得切線方程為：5x-12y+38=0．
綜上可得：切線方程方程為：5x-12y+38=0或x=2．
故選：C．

點評 本題考查了直線與圓相交交點、直線與圓相切的性質、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．