Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-$\frac{3}{2}{x^2}$+2x+3a+b恰有3個不同的零點，則f（0）的取值范圍是（-$\frac{5}{6}$，-$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導數(shù)，求出函數(shù)的極大值和極小值，利用函數(shù)f（x）恰有3個不同的零點，轉化為f（x）_極大＞0且f（x）_極小＜0，求出a，b的關系即可得到結論．

解答 解：函數(shù)的導數(shù)為f′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2），
由f′（x）＞0得x＞2或x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0，得1＜x＜2，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即當x=1時，函數(shù)取得極大值，f（1）=$\frac{1}{3}-\frac{3}{2}$+2+3a+b=$\frac{5}{6}$+3a+b，
即當x=2時，函數(shù)取得極小值，f（2）=$\frac{8}{3}-$6+4+3a+b=$\frac{2}{3}$+3a+b，
若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-$\frac{3}{2}{x^2}$+2x+3a+b恰有3個不同的零點，
則f（x）_極大＞0且f（x）_極小＜0，
即f（x）_極大=$\frac{5}{6}$+3a+b＞0且f（x）_極小=$\frac{2}{3}$+3a+b＜0，
則-$\frac{5}{6}$＜3a+b＜-$\frac{2}{3}$，
則f（0）=3a+b，
即f（0）的取值范圍是（-$\frac{5}{6}$，-$\frac{2}{3}$），
故答案為：（-$\frac{5}{6}$，-$\frac{2}{3}$）

點評 本題主要考查函數(shù)零點的應用，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)極值和函數(shù)的導數(shù)的關系是解決本題的關鍵．