Question

2．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點為F₁，F₂，其離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，又拋物線x²=4y在點P（2，1）處的切線恰好過橢圓C的一個焦點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點M（-4，0）斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于A，B兩點，直線AF₁，BF₁的斜率分別為k₁，k₂，是否存在常數λ，使得k₁k+k₂k=λk₁k₂？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導出拋物線過x軸上（1，0）點，從而c=1，再由離心率能求出$a=\sqrt{2}，b=1$，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設l的方程為y=k（x+4），聯立$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x+4）}\\{{x^2}+2{y^2}=2}\end{array}}\right.⇒（1+2{k^2}）{x^2}+16{k^2}x+32{k^2}-2=0$，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出常數$λ=\frac{2}{7}$．

解答 （1）∵拋物線x²=4y在點P（2，1）處的切線方程為y=x-1，
∴它過x軸上（1，0）點，
∴橢圓C的一個焦點為（1，0）即c=1
又∵$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$a=\sqrt{2}，b=1$，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l的方程為y=k（x+4），
聯立$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x+4）}\\{{x^2}+2{y^2}=2}\end{array}}\right.⇒（1+2{k^2}）{x^2}+16{k^2}x+32{k^2}-2=0$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{△＞0}\\{{x_1}+{x_2}=-\frac{{16{k^2}}}{{1+2{k^2}}}}\\{{x_1}{x_2}=\frac{{32{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}}\end{array}}\right.$，∵${F_1}（-1，0），{k_1}=\frac{y_1}{{{x_1}+1}}，{k_2}=\frac{y_2}{{{x_2}+1}}$，
∴$\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=\frac{{{x_1}+1}}{y_1}+\frac{{{x_2}+1}}{y_2}=\frac{1}{k}（\frac{{{x_1}+1}}{{{x_1}+4}}+\frac{{{x_2}+1}}{{{x_2}+4}}）$，
∴$\frac{k}{{k_1^{\;}}}+\frac{k}{k_2}=\frac{{2{x_1}{x_2}+5（{x_1}+{x_2}）+8}}{{{x_1}{x_2}+4（{x_1}+{x_2}）+16}}=\frac{2}{7}$，
∴${k_1}k+{k_2}k=\frac{2}{7}{k_1}{k_2}$，
∴存在常數$λ=\frac{2}{7}$．

點評 本題考查橢圓方程求法，考查滿足條件的實數值的求法，考查橢圓、韋達定理、根的判別式、直線方程、弦長公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．