Question

14．已知函數f（x）=xlnx-ax²+（2a-1）x，a＞0．
（ I）設g（x）=f′（x），求g（x）的單調區間；
（ II）若f（x）在x=1處取得極大值，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （ I）求出導函數g（x）=f'（x）=lnx-2ax+2a，x＞0，通過導函數的導數，結合a的范圍，判斷導函數的符號，然后求解函數的單調區間．
（ II）利用f（x）在x=1處取得極大值，推出f'（1）=0．通過①當$\frac{1}{2a}=1$，②當$\frac{1}{2a}＞1$，③當$0＜\frac{1}{2a}＜1$，結合函數的單調性，求出實數a的取值范圍．

解答 解：（ I）∵f（x）=xlnx-ax²+（2a-1）x，∴g（x）=f'（x）=lnx-2ax+2a，x＞0，
∴$g'（x）=\frac{1}{x}-2a=\frac{1-2ax}{x}$，x＞0．
當a＞0時，在$（0，\frac{1}{2a}）$上g'（x）＞0，g（x）單調遞增；
在$（\frac{1}{2a}，+∞）$上g'（x）＜0，g（x）單調遞減．
∴g（x）的單調增區間是$（0，\frac{1}{2a}）$，單調減區間是$（\frac{1}{2a}，+∞）$．…（6分）
（ II）∵f（x）在x=1處取得極大值，∴f'（1）=0．
①當$\frac{1}{2a}=1$，即$a=\frac{1}{2}$時，由（ I）知f'（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
∴當x＞0時，f'（x）≤0，f（x）單調遞減，不合題意；
②當$\frac{1}{2a}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$時，由（ I）知，f'（x）在$（0，\frac{1}{2a}）$上單調遞增，
∴當0＜x＜1時，f'（x）＜0，當$1＜x＜\frac{1}{2a}$時，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上單調遞減，在$（1，\frac{1}{2a}）$上單調遞增，
∴f（x）在x=1處取得極小值，不合題意；
③當$0＜\frac{1}{2a}＜1$，即$a＞\frac{1}{2}$時，由（ I）知，f'（x）在$（\frac{1}{2a}，+∞）$上單調遞減，
∴當$\frac{1}{2a}＜x＜1$時，f'（x）＞0，當x＞1時，f'（x）＜0，
∴f（x）在$（\frac{1}{2a}，1）$上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
∴當x=1時，f（x）取得極大值，滿足條件．
綜上，實數a的取值范圍是$（\frac{1}{2}，+∞）$．…（12分）

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的單調性以及函數的極值的求法，考查分類討論思想以及轉化思想的應用，考查計算能力．