Question

過(guò)點(diǎn)P（0，4）作圓x²+y²=4的切線l，若l與拋物線y²=2px（p＞0）交于兩點(diǎn)A、B，且OA⊥OB，求拋物線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓的切線方程，及直線與拋物線的關(guān)系，由L過(guò)點(diǎn)P（0，4）與圓x²+y²=4的相切，則我們可以設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，即可求出斜率的值，代入拋物線方程，即可得到交點(diǎn)，由于以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，故

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=0，代入即可求得p，從而得到拋物線方程．

解答： 解：由已知得切線的斜率一定存在，設(shè)切線的方程為y=kx+4，即kx-y+4=0，
由于L與圓x²+y²=4相切，
∴圓心到直線L的距離d=

4

1+k2

=2，解得k=±

3

當(dāng)k=

3

時(shí)，L的方程為：y=

3

x+4
聯(lián)立拋物線y²=2px（p＞0）方程后，易得：x₁•x₂=

16

3

，y₁•y₂=

8 3

3

p
由于以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O
所以

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=0
解得p=-

2 3

3

（舍去）
當(dāng)k=-

3

時(shí)，L的方程為：y=-

3

x+4
聯(lián)立拋物線y²=2px（p＞0）方程后，易得：x₁•x₂=

16

3

，y₁•y₂=-

8 3

3

p
由于以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O
所以x₁•x₂+y₁•y₂=0
解得p=

2 3

3

∴拋物線的方程為y²=

4 3

3

x

點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線為載體，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題時(shí)直線與拋物線的聯(lián)立是關(guān)鍵．