Question

已知函數f（x）=

x2+a

x+b

，（a，b∈R），若f（x）為奇函數，且f（1）=5．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）用定義判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，并寫出相應的單調區間．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）

x2+a

-x+b

=-

x2+a

x+b

，得出b=0，f（1）=5得出a=4，
（2）設變量，作差分解因式f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）

x1x2-4

x1x2

可判斷單調性．

解答： （1）解：∵函數f（x）=

x2+a

x+b

，（a，b∈R），若f（x）為奇函數，
∴f（-x）=-f（x），
即

x2+a

-x+b

=-

x2+a

x+b

，
b=0，
∵f（1）=5．
∴a=4，
∴f（x）=x+

4

x

，
（2）f（x）=x+

4

x

的函數圖象，（0，2）（-2，0）上單調遞減，（2，+∞）（-∞，-2）上單調遞增，
證明：∵設0＜x₁＜x₂＜2，0＜x₁x₂＜4
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）

x1x2-4

x1x2

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴在（0，2）上單調遞減，
∵設2＜x₁＜x₂，x₁x₂＞4，x₁x₂-4＞0，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）

x1x2-4

x1x2

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴在（2，+∞）上單調遞增，

點評：本題考查了函數的性質，單調性的判斷，屬于基礎題，掌握好因式分解是關鍵．