Question

已知函數f（x）=

ex+m

ex+1

，若對于任意a，b，c∈R，都有f（a）+f（b）＞f（c）成立，則實數m的取值范圍是（　　）

• A、[

  1

  2

  ，2]
• B、[0，1]
• C、[1，2]
• D、[

  1

  2

  ，1]

Answer 1

考點：指數函數單調性的應用

專題：函數的性質及應用

分析：把函數化為函數f（x）=

ex+m

ex+1

=1+

m-1

ex+1

，分類討論得出值域，根據端點值，f（a）+f（b）＞f（c）成立，最小值的2倍與最大值的比較，列出不等式即可求解．

解答： 解：∵函數f（x）=

ex+m

ex+1

，
∴函數f（x）=

ex+m

ex+1

=1+

m-1

ex+1

，
∵e^x+1＞1，
∴0＜

1

ex+1

＜1，
①當m=1時，f（x）=1，對于任意a，b，c∈R，都有f（a）+f（b）＞f（c）成立
②當m＞1時，∵0＜

m-1

ex+1

＜m-1，
1＜1+

m-1

ex+1

＜m，
∴對于任意a，b，c∈R，都有f（a）+f（b）＞f（c）成立
即有只需：2≥m，
∴1＜m≤2，
③當m＜1時，m-1＜

m-1

ex+1

＜0，
∴m＜1+

m-1

ex+1

＜1，
∴對于任意a，b，c∈R，都有f（a）+f（b）＞f（c）成立，即只需2m≥1，

1

2

≤m＜1，
綜上所述實數m的取值范圍為：[

1

2

，2]，

點評：本題考查了不等式的恒成立問題與函數單調性，結合不等式的性質轉化求解問題，難度較大，屬于思維量大的題目