Question

5．在平面直角坐標系xoy中，直線${C_1}：\sqrt{3}x+y-4=0$，曲線${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=cosφ\\ y=1+sinφ\end{array}\right.（φ$為參數），以以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系．
（I）求C₁，C₂的極坐標方程；
（II）若曲線C₃的極坐標方程為$θ=α（ρ＞0，0＜α＜\frac{π}{2}）$，且曲線C₃分別交C₁，C₂于點A，B兩點，求$\frac{OB}{OA}$的最大值．

Answer 1

分析 （I）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲線C₁的極坐標方程；曲線C₂消去參數φ得曲線C₂的普通方程為x²+（y-1）²=1，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出C₂的極坐標方程．
（II）設A（ρ₁，α），B（ρ₂，α），${ρ_1}=\frac{4}{{\sqrt{3}cosα+sinα}}，{ρ_2}=2sinα$，則$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}=\frac{ρ_2}{ρ_1}=\frac{1}{4}[{sin（2α-\frac{π}{6}）+1}]$，由此能求出$\frac{OB}{OA}$的最大值．

解答 解：（I）∵直線${C_1}：\sqrt{3}x+y-4=0$，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲線C₁的極坐標方程為${\;}\sqrt{3}ρcosθ+ρsinθ-4=0$，
∵曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=cosφ\\ y=1+sinφ\end{array}\right.$，
∴消去參數φ得曲線C₂的普通方程為x²+（y-1）²=1，
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C₂的極坐標方程為：（ρcosθ）²+（ρsinθ-1）²=1，
∴ρ²-2ρsinθ=0，∴C₂的極坐標方程為：ρ=2sinθ．
（II）曲線C₃為$θ=α（ρ＞0，0＜α＜\frac{π}{2}）$，
設A（ρ₁，α），B（ρ₂，α），${ρ_1}=\frac{4}{{\sqrt{3}cosα+sinα}}，{ρ_2}=2sinα$，
則$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}=\frac{ρ_2}{ρ_1}=\frac{1}{4}×2sinα（\sqrt{3}cosα+sinα）=\frac{1}{4}[{sin（2α-\frac{π}{6}）+1}]$，
∴$α=\frac{π}{3}$，${|{\frac{OB}{OA}}|_{max}}=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查直線和曲線的極坐標方程的求法，考查兩線段比值的最大值的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．