Question

3．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{alnx+1-a-^{2}，x≥1}\\{a{x}^{2}-2x，x＞1}\end{array}\right.$對(duì)任意實(shí)數(shù)b均恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，2）．

Answer 1

分析 求出f（x）=0的解，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)和定義域列不等式組得出a的范圍．

解答 解：當(dāng)x≥1時(shí)，令f（x）=0得x=e${\;}^{\frac{a+^{2}-1}{a}}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，令f（x）=0得x=0（舍）或x=$\frac{2}{a}$．
∵f（x）恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，∴e${\;}^{\frac{a+^{2}-1}{a}}$≥1對(duì)任意實(shí)數(shù)b恒成立，且$\frac{2}{a}$＞1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-1}{a}≥0}\\{\frac{2}{a}＞1}\end{array}\right.$，解得1≤a＜2．
故答案為：[1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的零點(diǎn)，一定要特別注意函數(shù)的定義域范圍，屬于中檔題．