Question

【題目】如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝2，M為A1B1的中點(diǎn)．

(1)求證：MC⊥AB;

(2)在棱CC1上是否存在點(diǎn)P，使得MC⊥平面ABP？若存在，確定點(diǎn)P的位置；若不存在，說明理由．

(3)若點(diǎn)P為CC1的中點(diǎn)，求二面角B－AP－C的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）當(dāng)點(diǎn)P為線段CC1的中點(diǎn)時(shí)，MC⊥平面ABP. （3）

【解析】試題分析: （1）取AB中點(diǎn)O，連接OM，OC，證明AB⊥平面OMC，可得MC⊥AB；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P（0，2，t）（0≤t≤2），要使直線MC⊥平面ABP，只要 即可得出結(jié)論；（3）若點(diǎn)P為CC1的中點(diǎn)，求出平面PAC的一個(gè)法向量、平面PAB的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角B-AP-C的余弦值．

試題解析：

(1)證明：取AB的中點(diǎn)O，連接OM，OC.

∵M為A1B1中點(diǎn)，

∴OM∥A1A.又A1A⊥平面ABC，

∴MO⊥平面ABC，

∵AB平面ABC，∴MO⊥AB.

∵△ABC為正三角形，∴AB⊥CO.

又MO∩CO＝O，MO，CO平面OMC，∴AB⊥平面OMC.

又∵MC平面OMC，∴AB⊥MC.

(2)以O為原點(diǎn)，以，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．

依題意O(0,0,0)，A(－2,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，M(0,0,2)．

設(shè)P(0,2，t)(0≤t≤2)，

則＝(0,2，－2)，＝(4,0,0，)，＝(0,2，t)．

要使直線MC⊥平面ABP，只要

即(2)2－2t＝0，解得t＝.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2，)．

∴當(dāng)點(diǎn)P為線段CC1的中點(diǎn)時(shí)，MC⊥平面ABP.

(3)取線段AC的中點(diǎn)D，則D的坐標(biāo)為(－1，，0)，易知DB⊥平面A1ACC1，

故＝(3，－，0)為平面PAC的一個(gè)法向量．

又由(2)知＝(0,2，－2)為平面PAB的一個(gè)法向量．

設(shè)二面角B－AP－C的平面角為α，

則|cosα|＝

＝＝.

∴二面角B－AP－C的余弦值為.