Question

1．集合{1，2，3，…，n}（n≥3）中，每兩個相異數作乘積，將所有這些乘積的和記為T_n，如：${T_3}=1×2+1×3+2×3=\frac{1}{2}[{6^2}-（{1^2}+{2^2}+{3^2}）]=11$；${T_4}=1×2+1×3+1×4+2×3+2×4+3×4=\frac{1}{2}[{10^2}-（{1^2}+{2^2}+{3^2}+{4^2}）]=35$；${T_5}=1×2+1×3+1×4+1×5+…+3×5+4×5=\frac{1}{2}[{15^2}-（{1^2}+{2^2}+{3^2}+{4^2}+{5^2}）]=85$
則T₈=546．（寫出計算結果）

Answer 1

分析 根據T₃、T₄、T₅歸納出式子與下標之間規律，利用此規律可求T₈的值．

解答 解：由由題意得，T₃=1×2+1×3+2×3=$\frac{1}{2}$[6²-（1²+2²+3²）]=11；
T₄=1×2+1×3+1×4+2×3+2×4+3×4=$\frac{1}{2}$[10²-（1²+2²+3²+4²）]=35；
T₅=1×2+1×3+1×4+1×5+…4×5=$\frac{1}{2}$[15²-（1²+2²+3²+4²+5²）]=85．
歸納得出：${T_n}=\frac{1}{2}[{（1+2+…+n）^2}-（{1^2}+{2^2}+…+{n^2}）]$，
故T₈=$\frac{1}{2}[{（1+2+…+8）}^{2}-（{1}^{2}+{2}^{2}+…+{8}^{2}）]$=$\frac{1}{2}$[$（\frac{8×9}{2}）^{2}$-$\frac{8×9×17}{6}$]=546．
故答案為：546．

點評 本題考查了數列求和，歸納推理，難點在于發現其中的規律，考查觀察、分析、歸納能力