Question

13．設f（x）是定義在R上的奇函數，f（2）=0，當x＞0時，有xf′（x）-f（x）＜0恒成立，則xf（x）＞0的解集為（　　）

• A． （-2，0）∪（2，+∞）
• B． （-2，0）∪（0，2）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析 利用函數的導數，判斷函數的單調性，結合函數的奇偶性直接利用數形結合求解即可．

解答 解：設g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，當x＞0時，有g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0成立，可得g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，在x＞0時是減函數，
∵函數f（x）是定義在R上的奇函數，f（2）=0，
∴g（x）是偶函數，且g（-2）=g（2）=0．

則當x＞0時，不等式xf（x）＞0等價為x²•$\frac{f（x）}{x}$＞0，即x²•g（x）＞0，即g（x）＞0，
則當x＜0時，不等式xf（x）＞0等價為x²•$\frac{f（x）}{x}$＞0，即x²•g（x）＞0，即g（x）＞0，
作出g（x）對應的草圖如圖：
則不等式g（x）＞0的解集是：（-2，2）．
當x=0時，不等式xf（x）＞0不成立，
故不等式xf（x）＞0的解集是：（-2，0）∪（0，2）．
故選：B．

點評 本題考查不等式的求解，以及函數的導數的應用，根據條件構造函數，利用導數研究函數 單調性，以及利用數形結合的思想與方法是解決本題的關鍵．