Question

6．已知函數${f_{\;}}（x）={x^3}-3{a^2}x-1$，（a＜0）．
（1）求f（x）的單調增區間；
（2）若f（x）在x=-1處取得極值，直線y=t與y=f（x）的圖象有三個不同的交點，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先確求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0，即可求出單調增區間，
（2）先根據極值點求出a，然后利用導數研究函數的單調性，求出極值以及端點的函數值，結合函數圖象可知，直線y=m與y=f（x）的圖象有三個不同的交點只需使m在兩個極值之間

解答 解　（1）f′（x）=3x²-3a²=3（x²-a²）=3（x-a ）（x+a），
∵a＜0，令f′（x）＞0，則x＜a或x＞-a
∴f（x）的單調增區間為（-∞，a）和（-a，+∞）．
（2）∵f（x）在x=-1處取得極值，
∴f′（-1）=3×（-1）-3a²=0，且a＜0
∴a=-1．
∴f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=0，解得x₁=-1，x₂=1．
由（1）中f（x）的單調性可知，f（x）在x=-1處取得極大值f（-1）=1，
在x=1處取得極小值f（1）=-3．
∵直線y=t與函數y=f（x）的圖象有三個不同的交點，結合如圖所示f（x）的圖象可知：

實數t的取值范圍是（-3，1）．

點評 本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及求最值和利用導數研究圖象等問題，屬于中檔題．