Question

10．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁內接于高為$\sqrt{2}$的圓柱中，已知∠ACB=90°，AA₁=$\sqrt{2}$，BC=AC=1，O為AB的中點．求：
（1）圓柱的全面積；
（2）異面直線AB′與CO所成的角的大小；
（3）求直線A′C與平面ABB′A′所成的角的大小．

Answer 1

分析 （1）求出底面半徑為：r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可求圓柱的全面積；
（2）利用CO⊥平面ABB′A′，即可求出異面直線AB′與CO所成的角的大小；
（3）判斷∠CA′O為直線A′C與平面ABB′A′所成的角，即可求直線A′C與平面ABB′A′所成的角的大小．

解答 解：（1）根據題意：底面半徑為：r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S=2πr²+2πrh=3π；
（2）∵CO⊥平面ABB′A′
∴CO⊥AB′
∴∠COO′=90°
∴異面直線AB′與CO所成的角是90°；
（3）∵CO⊥平面ABB′A′，
∴∠CA′O為直線A′C與平面ABB′A′所成的角，
∵CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A′C=$\sqrt{3}$，
∴sin∠CA′O=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴∠CA′O=arcsin$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

點評 本題考查空間角，考查全面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．