Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，不等式恒成立，試求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 當時，函數在區間上單調遞增；當時，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減(2)

【解析】試題分析：（1）函數的定義域為..對a分類討論，明確函數的單調性；

（2）當時，不等式恒成立，即求的最小值大于等于零即可.

試題解析：

（1）函數的定義域為.

.

①時， ，故在區間上單調遞增；

②當時，令，得，

令，得，

所以函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.

綜上所述，當時，函數在區間上單調遞增；

當時，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.

（2）當時，由（1)，知函數在區間上單調遞增，

所以，所以恒成立，即符合題意.

法一:當時，令，

解得： ，

令，解得.

①當時， ，

所以結合（1），知函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

且 .

令，

恒成立，

又，

所以在區間上單調遞增，

所以存在，使得，

即存在，使得，

即當時，不符合題意.

②當時， ，

即在區間上恒成立，

所以函數在區間上單調遞減，

所以，

顯然不符合題意.

綜上所述，實數的取值范圍為.

法二：當時，令，

，

所以，取，

故在上， ，

不合題意，舍去.

綜上所述，實數的取值范圍為.