Question

11．曲線$\frac{{x}^{2}}{n}$-y²=1（n＞1）的兩焦點為F₁，F₂，點P在雙曲線上，且滿足PF₁+PF₂=2$\sqrt{n+2}$，則△PF₁F₂的面積為1．

Answer 1

分析 設F₁、F₂是雙曲線的左右焦點，然后得到兩個關于|PF₁|與|PF₂|的等式，然后分別求解，最后得出|PF₁||PF₂|=2，解出結果．

解答 解：不妨設F₁、F₂是雙曲線的左右焦點，
P為右支上一點，
|PF₁|-|PF₂|=2$\sqrt{n}$①
|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{n+2}$②，
由①②解得：
|PF₁|=$\sqrt{n+2}$+$\sqrt{n}$，|PF₂|=$\sqrt{n+2}$-$\sqrt{n}$，
得：|PF₁|²+|PF₂|²=4n+4=|F₁F₂|²，
∴PF₁⊥PF₂，
又由①②分別平方后作差得：
|PF₁||PF₂|=2，
則△PF₁F₂的面積為S=$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|=$\frac{1}{2}×2$=1，
故答案為：1

點評 本題考查雙曲線的應用，通過設出雙曲線的焦點，建立等式，并求解，本題考查了學生對雙曲線知識的熟練靈活應用，屬于中檔題．