Question

10．已知函數f（x）的導函數為f'（x），且滿足f（x）=2x²-f（-x）．當x∈（-∞，0）時，f'（x）＜2x；若f（m+2）-f（-m）≤4m+4，則實數m的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-1]
• B． （-∞，-2]
• C． [-1，+∞）
• D． [-2，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-x²，求出函數的奇偶性和單調性，問題轉化為g（m+2）≤g（-m），根據函數的單調性求出m的范圍即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-x²，
g′（x）=f′（x）-2x，
當x∈（-∞，0）時，f′（x）＜2x，
∴g（x）在（-∞，0）遞減，
而g（-x）=f（-x）-x²，
∴f（-x）+f（x）=g（-x）+x²+g（x）+x²=2x²，
∴g（-x）+g（x）=0，
∴g（x）是奇函數，g（x）在R遞減，
若f（m+2）-f（-m）≤4m+4，
則f（m+2）-（m+2）²≤f（-m）-m²，
∴g（m+2）≤g（-m），
∴m+2≥-m，解得：m≥-1，
故選：C．

點評 本題考查了函數的單調性、奇偶性問題，考查導數的應用，是一道中檔題．