Question

已知函數f（x）=1+3•（

1

2

）^x，若不等式f（x）+f（x+2）≤k對于任意的x≥0總成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：由題意可知，當x≥0時，f（x）=1+3•（

1

2

）^x，從而有f（x）+f（x+2）=2+

15

4

•（

1

2

）^x≤k在（0，+∞）上恒成立，從而轉化為求解2+

15

4

•（

1

2

）^x在（0，+∞）上的最大值．

解答： 解：當x≥0時，f（x）+f（x+2）=1+3•（

1

2

）^x+1+3•（

1

2

）^x+2=2+

15

4

•（

1

2

）^x，
又∵函數y=（

1

2

）^x在[0，+∞）上單調遞減，
∴（

1

2

）^x≤1，
∴f（x）+f（x+2）≤2+

15

4

≤

23

4

，
又由已知f（x）+f（x+2）≤k對于任意的x≥0總成立，
∴k≥

23

4

，
因此所求實數k的取值范圍是[

23

4

，+∞）．

點評：本題主要考查了函數的性質，將函數的恒成立的問題的解決常轉化為求解函數的最值．