Question

若x，y∈（0，+∞），且x+y=1，證明

1

x-x4

+

1

y-y4

＞4．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：推理和證明

分析：構造函數t（x）=x-x⁴，利用導數法求得t（x）_max=

3 3 2

8

，即(

1

x-x4

)min=

8

3 3 2

，再證明

8

3 3 2

＞2，同理可證

1

y-y4

＞2，于是結論得以證明．

解答： 證明：∵x，y∈（0，+∞），且x+y=1，
∴x∈（0，1），且y∈（0，1），
令t（x）=x-x⁴，
則t′（x）=1-4x³，由t′（x）=0得：x=

3	1 4

=

3 2

2

，
當x∈（0，

3 2

2

）時，t′（x）＞0，t（x）=x-x⁴為增函數；
當x∈（

3 2

2

，1）時，t′（x）＜0，t（x）=x-x⁴為減函數；
∴當x=

3 2

2

時，t（x）=x-x⁴取得最大值為：

3 2

2

-(

3 2

2

)4=

3

4

•

3 2

2

=

3 3 2

8

，
∴

1

x-x4

取得最小值為：

1

3 3 2 8

=

8

3 3 2

，
∵(

8

3 3 2

)3-2³=

512

54

-8=

256-27×8

27

=

40

27

＞0，
∴

1

x-x4

≥

8

3 3 2

＞2；
同理可證：

1

y-y4

＞2，
∴

1

x-x4

+

1

y-y4

＞4（證畢）．

點評：本題考查不等式的證明，構造函數t（x）=x-x⁴，利用導數法求得t（x）_max=

3 3 2

8

，即(

1

x-x4

)min=

8

3 3 2

＞2是關鍵，也是難點，考查轉化思想與推理論證能力，是難題．