Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，sinx），f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$
（1）若x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，求函數f（x）的值域
（2）記銳角△ABC的內角A、B、C的對邊長分別為a，b，c，若f（B）=1，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由向量數量積的關系，求出f（x）的表達式，結合x的范圍可得值域
（2）先求出B，再根據正弦定理即可求出c，再根據兩角和的正弦公式求出sinA，再由正弦定理求出a．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，sinx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=sin²x+sinxcosx=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，
∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
∴（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴f（x）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$，1]
（2）記銳角△ABC的內角A、B、C的對邊長分別為a，b，c，若f（B）=1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2B-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$=1，
∴sin（2B-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴2B-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$，或2B-$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，
解得B=$\frac{π}{4}$或B=$\frac{π}{2}$（舍去）
∵b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{3}$，
由正弦定理可得$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，
∴a=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

點評 本題考查了向量的數量積的運算和三角形函數的性質，以及正弦定理和兩角和的正弦公式，屬于中檔題．