Question

8．如圖正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長為a，側棱長為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$，若經過對角線AB₁且與對角線BC₁平行的平面交上底面于DB₁．
（1）試確定D點的位置，并證明你的結論；
（2）求二面角A₁-AB₁-D的大小．

Answer 1

分析 （1）連結A₁B與AB₁交于E，DE為平面AB₁D與平面A₁BC₁的交線，推導出BC₁∥DE，由此能證明D為A₁C₁的中點．
（2）過D作DF⊥A₁B₁于F，連結EF，DE，推導出∠DEF為二面角A₁-AB₁-D的大小，由此能求出結果．

解答 解：（1）D為A₁C₁的中點．連結A₁B與AB₁交于E，
則E為A₁B的中點，DE為平面AB₁D與平面A₁BC₁的交線，
∵BC₁∥平面AB₁D
∴BC₁∥DE，∴D為A₁C₁的中點．
（2）過D作DF⊥A₁B₁于F，由正三棱柱的性質，AA₁⊥DF，
∴DF⊥平面AB₁，連結EF，DE，在正△A₁B₁C₁中，
∵D是A₁C₁的中點，∴${B_1}D=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{A_1}{B_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，
又在直角三角形AA₁D中，$AD=\sqrt{AA_1^2+{A_1}{D^2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，
∴AD=B₁D．∴DE⊥AB₁，
∴EF⊥AB₁．∴∠DEF為二面角A₁-AB₁-D的大小，
由題意$DF=\frac{{\sqrt{3}}}{4}a$，∵△B₁FE∽△B₁AA₁，∴$EF=\frac{{\sqrt{3}}}{4}a$，∴$∠DEF=\frac{π}{4}$．
∴二面角A₁-AB₁-D的大小為$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查空間位置關系的判斷與證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．