Question

4．已知函數y=a^x+2-2的圖象過的定點在函數y=-$\frac{n}{m}$x-$\frac{1}{m}$的圖象上，其中m，n為正數，求$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 當x=-2時，y=a⁰-2=-1，可得函數y=a^x+2-2的圖象過的定點（-2，-1）．把（-2，-1）代入函數y=-$\frac{n}{m}$x-$\frac{1}{m}$可得m+2n=1．再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

解答 解：當x=-2時，y=a⁰-2=-1，∴函數y=a^x+2-2的圖象過的定點（-2，-1）．
把（-2，-1）代入函數y=-$\frac{n}{m}$x-$\frac{1}{m}$可得-1=$\frac{2n}{m}$-$\frac{1}{m}$，化為m+2n=1．
又∵m，n為正數，∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=（m+2n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=3+$\frac{2n}{m}$+$\frac{m}{n}$≥3+2$\sqrt{2}$，
當且僅當m=$\sqrt{2}$n=$\sqrt{2}$-1取等號．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了指數函數的性質、“乘1法”和基本不等式的性質，屬于基礎題．