Question

19．已知函數f（x）滿足xf′（x）=（x-1）f（x），且f（1）=1，則f（x）的值域為（-∞，0）∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 根據條件構造函數g（x）=xf（x），求函數的導數，結合函數極值和導數之間的關系求函數的極值和單調性即可得到結論．

解答 解：∵xf′（x）=（x-1）f（x），
∴f（x）+xf′（x）=xf（x）
設g（x）=xf（x），
則g′（x）=f（x）+xf′（x），
即g′（x）=g（x），
則g（x）=ce^x，
∵f（1）=1，
∴g（1）=f（1）=1，
即g（1）=ce=1，則c=$\frac{1}{e}$，
則g（x）=xf（x）=$\frac{1}{e}$•e^x，
則f（x）=$\frac{{e}^{x}}{ex}$，（x≠0），
函數的導數f′（x）=$\frac{{e}^{x}ex-{e}^{x}•e}{（ex）^{2}}$=$\frac{（x-1）{e}^{x}}{e{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得x＞1，此時函數單調遞增，
由f′（x）＜0得x＜0或0＜x＜1，此時函數單調遞減，
即當x=1時，函數f（x）取得極小值，此時f（1）=$\frac{e}{e}$=1，即當x＞0時，f（x）≥1，
當x＜0時，函數f（x）單調遞減，且f（x）＜0，
綜上f（x）≥1或f（x）＜0，
即函數的值域為（-∞，0）∪[1，+∞），
故答案為：（-∞，0）∪[1，+∞），

點評 本題主要考查函數與導數的關系，根據條件構造函數，利用導數研究函數的極值和單調性是解決本題的關鍵．