Question

函數f₁（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的一段圖象如圖所示，且函數過點（0，1）
（1）求函數f₁（x）的解析式；
（2）將函數y=f₁（x）的圖象向右平移

π

4

個單位長度，得到函數y=f₂（x），求y=f₁（x）+f₂（x）的最大值，并求此時自變量x的集合．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數的圖象,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用函數的圖象求函數的解析式，主要確定函數的A，ω，φ的值．
（2）通過函數（1）的關系式求出f2(x)=2sin(2x-

π

3

)，進一步求出函數y的關系式，最后變換成正弦型函數解析式的形式，最后求得解的結果．

解答： 解：（1）根據函數的圖象：T=

2π

ω

=

11π

12

+

1π

12

=π，
解得：ω=2．
當x=

5π

12

時，函數f1(

5π

12

)=0（|φ|＜

π

2

），
解得：φ=

π

6

．
函數的圖象過（0，1），
則：f₁（0）=1，
即Asin

π

6

=1，
解得：A=2，
所以函數的解析式為：f1(x)=2sin(2x+

π

6

)．
（2）函數f1(x)=2sin(2x+

π

6

)向右平移

π

4

個單位，
得到：f2(x)=2sin(2(x-

π

4

)+

π

6

)=2sin(2x-

π

3

)，
則：y=f₁（x）+f₂（x）=2sin(2x+

π

6

)+2sin(2x-

π

3

)
=2sin(2x+

π

6

)-2cos(2x+

π

6

)
=2

2

sin(2x-

π

12

)，
當2x-

π

12

=2kπ+

π

2

（k∈Z）時，函數取最大值2

2

．
解得：x=kπ+

7π

24

（k∈Z）．
所以：當{x|x=kπ+

7π

24

}（k∈Z），函數取得最大值2

2

．

點評：本題考查的知識要點：利用函數的圖象求函數的解析式，函數圖象的變換問題，三角函數關系式的恒等變換，屬于基礎題型．