Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=2a_n-4（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足：b_n+1=a_n+2b_n，且b₁=2，求證數列{

bn

2n

}是等差數列；
（3）求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用條件分別讓n=1，2，3即可求a₁，a₂，a₃求數列{a_n}的通項公式；
（2）根據等差數列的定義即可證明數列{

bn

2n

}是等差數列；
（3）利用錯位相減法即可求出數列{b_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）當n=1時，a₁=2a₁-4，解得a₁=4，
當n=2時，S₂=2a₂-4=4+a₂，解得a₂=8，
當n=3時，S₃=2a₃-4=4+8+a₃，解得a₃=16，
則數列{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ⁺¹；
（2）若數列{b_n}滿足：b_n+1=a_n+2b_n=2ⁿ⁺¹+2b_n，且b₁=2，
則

bn+1

2n+1

=1+

2bn

2n+1

=1+

bn

2n

，
即

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=1，
故數列{

bn

2n

}是公差d=1的等差數列；
（3）∵數列{

bn

2n

}是公差d=1的等差數列，首項為

b1

2

=

2

2

=1，
∴

bn

2n

=1+n-1=n，即b_n=n•2ⁿ，
則數列{b_n}的前n項和S_n=1•2¹+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
則2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得-S_n=1•2¹+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題主要考查數列的通項公式的求解以及等差數列的判斷，利用錯位相減法是解決本題的關鍵．