Question

3．關于x的方程$\sqrt{1-{x}^{2}}$=kx+2有唯一實數解，則實數k的取值范圍是（　　）

• A． $\left\{{±\sqrt{3}}\right\}$
• B． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• C． （-2，2）
• D． $（{-∞，-2}）∪\left\{{±\sqrt{3}}\right\}∪（{2，+∞}）$

Answer 1

分析 由題意，方程左邊對應的函數圖象是以原點為圓心、半徑為1的圓的上半圓，右邊對應的函數圖象是經過定點C（0，2）且斜率為k的一條直線．可得當直線與半圓相切時或直線在x軸上的交點位于（-1，0）和（1，0）之間時，原方程有唯一的實數解．由此建立關于k的代數關系式，即可得到實數k的范圍．

解答 解：設y₁=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
表示以原點為圓心、半徑為1的圓的上半圓（含端點A、B）
設y₂=kx+2，表示經過定點C（0，2）且斜率為k的一條直線
當直線y₂=kx+2與半圓y₁=$\sqrt{1-{x}^{2}}$相切時，原方程有唯一解
此時原點到直線的距離等于1，得$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解之得k=±$\sqrt{3}$，
當直線在x軸上的交點位于A、B之間時，原方程也有唯一解
∵k_AC=2且k_BC=-2，
∴線在x軸上的交點位于A、B之間時，k＜-2或k＞2
綜上所述，原方程有唯一實數解時，k＜-2或k＞2或k=±$\sqrt{3}$．
故選：D

點評 本題給出方程有唯一的實數解，求參數k的值或范圍．著重考查了直線方程、圓的方程和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．