Question

8．定義在R上的偶函數f（x）在（-∞，0）上是減函數且f（1）=0，則不等式$f（{log_{\frac{1}{2}}}x）＞0$的解集為$\{x|0＜x＜\frac{1}{2}$或x＞2}．

Answer 1

分析 根據題意，由函數的奇偶性分析可得函數f（x）在區間（0，+∞）上為增函數，進而可以將不等式$f（{log_{\frac{1}{2}}}x）＞0$轉化為|$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$|＞1，解可得x的取值范圍．

解答 解：根據題意，定義在R上的偶函數f（x）在（-∞，0）上是減函數，
則函數f（x）在區間（0，+∞）上為增函數，
若$f（{log_{\frac{1}{2}}}x）＞0$，則|$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$|＞1，
即|log₂x|＞log₂2，
解可得0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞2，
即不等式$f（{log_{\frac{1}{2}}}x）＞0$的解集為$\{x|0＜x＜\frac{1}{2}$或x＞2}；
故答案為：$\{x|0＜x＜\frac{1}{2}$或x＞2}．

點評 本題考查函數的奇偶性與單調性綜合應用，注意對數函數定義域．