Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，若函數(shù)f（x）滿足條件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，則稱f（x）為“倍擴函數(shù)”，若函數(shù)f（x）=log₂（2^x+t）為“倍擴函數(shù)”，則實數(shù)t的取值范圍是（　　）

• A． $（-∞，-\frac{1}{4}）$
• B． $（-\frac{1}{4}，0）$
• C． $（-\frac{1}{4}，0]$
• D． $[-\frac{1}{4}，+∞）$

Answer 1

分析 由題意得，函數(shù)是增函數(shù)，構(gòu)造出方程組，利用方程組的解都大于0，求出t的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=log₂（2^x+t）為“倍擴函數(shù)”，且滿足[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，
∴f（x）在[a，b]上是增函數(shù)；
∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（{2}^{a}+t）=2a}\\{lo{g}_{2}（{2}^{b}+t）=2b}\end{array}\right.$，
化簡得：$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{a}+t={（2}^{a}）^{2}}\\{{2}^{b}+t=（{2}^{b}）^{2}}\end{array}\right.$，
∴方程f（x）=x²-x-t=0有兩個不等的實根，且兩根都大于0；
$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}-4ac＞0}\\{f（0）＞0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{1+4t＞0}\\{t＜0}\end{array}\right.$，
解得：$-\frac{1}{4}＜t＜0$．
∴滿足條件t的范圍是（$-\frac{1}{4}$，0）
故答案選：B．

點評 本題考察了函數(shù)的值域問題，解題時構(gòu)造函數(shù)，滲透轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．