Question

17．設數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S_n=na_n-n（n-1）．
（1）求證：數列{a_n}為等差數列，并分別求出a_n的表達式；
（2）設數列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和為P_n，求證：P_n＜$\frac{1}{2}$；
（3）設C_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，T_n=C₁+C₂+…+C_n，試比較T_n與$\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$的大小．

Answer 1

分析 （1）由S_n=na_n-n（n-1），S_n+1=（n+1）a_n+1-（n+1）n，兩式相減整理得：a_n+1-a_n=2，{a_n}是以首項為a₁=1，公差為2的等差數列，根據等差數列的通項公式即可求得數列{a_n}通項公式；
（2）由（1）可得$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用裂項相消法，即可求得數列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和為P_n，P_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）＜\frac{1}{2}$；
（3）${T_n}={C_1}+{C_2}+…+{C_n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+…+\frac{2n-1}{2^n}$，由“錯位相減法”即可求得${T_n}=3-\frac{2n+3}{2^n}$，利用作差法即可求得${T_n}-\frac{n}{{{2^{n-1}}}}=3-\frac{2n+3}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n-1}}}}=3-\frac{3}{2^n}$＞0，即可求得T_n＞$\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$．

解答 解：（1）證明：∵S_n=na_n-n（n-1）
∴S_n+1=（n+1）a_n+1-（n+1）n…（1分）
∴a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-2n…（2分）
∴na_n+1-na_n-2n=0
∴a_n+1-a_n=2，
∴{a_n}是以首項為a₁=1，公差為2的等差數列 …（3分）
由等差數列的通項公式可知：a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
數列{a_n}通項公式a_n=2n-1；…（4分）
（2）證明：由（1）可得$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
${P_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$…（6分）
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）＜\frac{1}{2}$…（8分）
（3）∴${T_n}={C_1}+{C_2}+…+{C_n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+…+\frac{2n-1}{2^n}$，
$\frac{1}{2}{T_n}$=$\frac{1}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{5}{2^4}+…+\frac{2n-3}{2^n}+\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$，
兩式相減得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^3}+…+\frac{2}{2^n}-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$…（9分）
=$\frac{1}{2}+2×（\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}）-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$，
=$\frac{1}{2}+2×\frac{{\frac{1}{2^2}[{1-{{（{\frac{1}{2}}）}^{n-1}}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$，
=$\frac{1}{2}+1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$，
=$\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{{{2^{n+1}}}}$，
∴${T_n}=3-\frac{2n+3}{2^n}$…（10分）
∴${T_n}-\frac{n}{{{2^{n-1}}}}=3-\frac{2n+3}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n-1}}}}=3-\frac{3}{2^n}$…（11分）
∵n∈N^*，
∴2ⁿ＞1，
∴$3-\frac{3}{2^n}＞0$，
∴${T_n}＞\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$…（12分）

點評 本題考查等差數列的證明，等差數列通項公式，考查“裂項法”“錯位相減法”的應用，考查作差法比較兩個數的大小，考查計算能力，屬于難題．