Question

【題目】設定義在D上的函數在點處的切線方程為，當時，若在D內恒成立，則稱P點為函數的“類對稱中心點”，則函數的“類對稱中心點”的坐標是________.

Answer 1

【答案】

【解析】

由求導公式求出函數f（x）的導數，由導數的幾何意義和條件求出切線方程，再求出y＝g（x），設F（x）＝f（x）﹣g（x），求出導數化簡后利用分類討論和導數與函數單調性的關系，判斷出F（x）的單調性和最值，從而可判斷出的符號，再由“類對稱中心點”的定義確定“類對稱中心點”的坐標．

解：由題意得，f′（x），f（x0）（x＞0），

即函數y＝f（x）的定義域D＝（0，+∞），

所以函數y＝f（x）在點P（x0，f（x0））處的切線方程l方程為：

y﹣（）＝（）（x﹣x0），

則g（x）＝（）（x﹣x0）+（），

設F（x）＝f（x）﹣g（x）lnx﹣[（）（x﹣x0）+（）]，

則F（x0）＝0，

所以F′（x）＝f′x）﹣g′（x）（）

當0＜x0＜e時，F（x）在（x0，）上遞減，

∴x∈（x0，）時，F（x）＜F（x0）＝0，此時，

當x0＞e時，F（x）在（，x0）上遞減；

∴x∈（，x0）時，F（x）＞F（x0）＝0，此時，

∴y＝F（x）在（0，e）∪（e，+∞）上不存在“類對稱點”．

若x0＝e，0，則F（x）在（0，+∞）上是增函數，

當x＞x0時，F（x）＞F（x0）＝0，當x＜x0時，F（x）＜F（x0）＝0，

故，

即此時點P是y＝f（x）的“類對稱點”，

綜上可得，y＝F（x）存在“類對稱點”，e是一個“類對稱點”的橫坐標，

又f（e），所以函數f（x）的“類對稱中心點”的坐標是，

故答案為：．