Question

【題目】已知函數（a為常數）與x軸有唯一的公共點A．

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）曲線在點A處的切線斜率為，若存在不相等的正實數，，滿足，證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，結合單調性求出f（x）的最小值，從而確定a的范圍；
（Ⅱ）求出a的值，不妨設x1＜x2，則0＜x1＜1＜x2，得到(x121+3lnx1)＝x221+3lnx2，令p（t）=2t+3lnt-2，根據函數的單調性證明即可．

（Ⅰ）因為函數的定義域為，且，

故由題意可知曲線與x軸存在公共點，又，則有

當時，，函數在定義域上遞增，滿足條件；

當時，函數在上遞減，在上遞增，

①若時，則，取，則，

故由零點存在定理可知，函數在上還有一個零點，因此不符合題意；

②若，則函數的極小值為，符合題意；

③若，則由函數的單調性，有，取，有．

下面研究函數

，，因為恒成立，故函數在上遞增．故，故成立，函數在區間上存在零點，不符合題意．

綜上所述：

當時，函數的遞增區間為，遞減區間為；

當時，函數的遞增區間為，無遞減區間．

（Ⅱ）容易知道函數在處的切線斜率為，得，

由（Ⅰ）可知，且函數在區間上遞增．

不妨設，因為，則，

則有，整理得，

由基本不等式得，故，整理，即．

由函數在上單調遞增，所以，即．