Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若函數在上是單調遞增函數，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）若，對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）將問題轉化為對恒成立，然后利用參變量分離法得出，于是可得出實數的取值范圍；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數在上是增函數，設，并設

，得知在區間上為減函數，轉化為在上恒成立，利用參變量分離法得到，然后利用導數求出函數在上的最大值可求出實數的取值范圍。

（Ⅰ）易知不是常值函數，∵在上是增函數，

∴恒成立，所以，只需；

（Ⅱ）因為，由（Ⅰ）知，函數在上單調遞增，

不妨設，

則，可化為，

設，則，

所以為上的減函數，即在上恒成立，

等價于在上恒成立，

設，所以，

因，所以，所以函數在上是增函數，

所以（當且僅當時等號成立）．

所以．即的最小值為12．