Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分別是線段AD，PB的中點，PA＝AB＝1.

(1)證明：EF∥平面PDC；

(2)求點F到平面PDC的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）把向上平移，與重合，則應在上，因此得輔助線作法，取中點，連接，只要證明即可證線面平行；

（2）由（1）只要求到平面的距離即可，這可用體積法求解，即．

(1)證明取PC的中點M，連接DM，MF，

∵M，F分別是PC，PB的中點，∴MF∥CB，MF＝CB，

∵E為DA的中點，四邊形ABCD為正方形，

∴DE∥CB，DE＝CB，

∴MF∥DE，MF＝DE，∴四邊形DEFM為平行四邊形，

∴EF∥DM，∵EF平面PDC，DM平面PDC，

∴EF∥平面PDC.

(2)解∵EF∥平面PDC，∴點F到平面PDC的距離等于點E到平面PDC的距離.

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∴DP＝.

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，

∴CB⊥PB，則PC＝，∴PD2＋DC2＝PC2，

∴△PDC為直角三角形，

∴S△PDC＝.

連接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，設E到平面PDC的距離為h，

∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，

則×h×＝×1×××1，∴h＝，

∴點F到平面PDC的距離為.