Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F的直線與拋物線相交于P、Q兩點，線段PQ的中垂線交拋物線對稱軸于點R，求證：|PQ|=2|FR|．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由拋物線方程求得其焦點坐標，設出PQ所在直線方程，和拋物線方程聯立，得到關于x的一元二次方程，利用根與系數關系求得|PQ|，然后求出PQ的中點坐標，再求出PQ的垂直平分線方程，求出其在x軸上的截距，得到|RF|，從而證得答案．

解答： 證明：拋物線y²=2px的焦點坐標為（

p

2

，0），
由題意可設PQ所在直線方程為y=k（x-

p

2

），
聯立

y=k(x- p 2 ) y2=2px

，得4k²x²-（4k²p+8p）x+k²p²=0．
則x1+x2=

4k2p+8p

4k2

=p+

2p

k2

，
∴|PQ|=x1+x2+p=2p+

2p

k2

．
PQ的中點坐標為（

p

2

+

p

k2

，

p

k

），
∴PQ的垂直平分線方程為y-

p

k

=-

1

k

(x-

p

2

-

p

k2

)，
取y=0，得x=

3

2

p+

p

k2

，
則|RF|=P+

p

k2

．
故：|PQ|=2|FR|．

點評：本題考查了直線與拋物線的關系，涉及直線與圓錐曲線關系問題，常采用聯立直線與圓錐曲線方程，化為關于x的一元二次方程后利用根與系數關系求解，是中檔題．