Question

14．已知函數f（x）=ax²-ax-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，計算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可．

解答 解：（Ⅰ）a=2時，f（x）=2x²-2x-lnx，
f′（x）=4x-2-$\frac{1}{x}$，f（1）=0，f′（1）=1，
故切線方程是y=x-1即x-y-1=0；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{2{ax}^{2}-ax-1}{x}$，函數的定義域是（0，+∞），
令g（x）=2ax²-ax-1，
（1）a=0時，g（x）=-1＜0，f（x）在（0，+∞）遞減，
（2）a≠0時，△=a²+8a，
（i）若-8≤a＜0，△≤0，g（x）≤0，f（x）在（0，+∞）遞減；
（ii）若a＞0，△＞0，x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$＜0，x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$＞0，
x∈（0，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$）時，g（x）＜0，f（x）遞減，
x∈（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$，+∞）時，g（x）＞0，f（x）遞增；
（iii）若a＜-8，△＞0，x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$＞x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$＞0，
x∈（0，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$）時，g（x）＜0，f（x）遞減，
x∈（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$）時，g（x）＞0，f（x）遞增，
x∈（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$，+∞）時，g（x）＜0，f（x）遞減，
綜上，a＜-8時，f（x）在（0，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$）遞減，
在（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$）遞增，在（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$，+∞）遞減；
-8≤a＜0時，f（x）在（0，+∞）遞減；
a＞0，f（x）在（0，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$）遞減，在（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4a}$，+∞）遞增．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．