Question

9．對于函數f（x）=$\frac{x-1}{x+1}$，設函數f₂（x）=f[f（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n+1（x）=f[f_n（x）]（n∈N⁺，n≥2），令集合M={x|f₂₀₁₆（x）=x，x∈R}，則集合M為（　　）

• A． 空集
• B． 實數集
• C． 單元素集
• D． 二元素集

Answer 1

分析 先驗證前幾個函數的表達式，找出同期再計算求值即可．

解答 解：由題設可知f₂（x）=-$\frac{1}{x}$，f₃（x）=-$\frac{x+1}{x-1}$，f₄（x）=x，
f₅（x）=$\frac{x-1}{x+1}$，f₆（x）=-$\frac{1}{x}$，f₇（x）=f₃（x）=-$\frac{x+1}{x-1}$，
故從f₅（x）開始組成了一個以f（x）為首項，以周期為4重復出現一列代數式，
由2016=504×4，得f₂₀₁₆（x）=f₄（x），故x=x，解得x∈R，
故選B．

點評 本題主要考查了函數的周期性，解題的關鍵是求函數的周期，同時考查了計算能力，屬于基礎題．