Question

【題目】已知函數，為自然對數的底數.

（1）當時，證明，，；

（2）若函數在上存在極值點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析：（2）

【解析】

(1)代入,求導分析函數單調性,再的最小值即可證明.

(2) ,若函數在上存在兩個極值點,則在上有根.再分,與,利用函數的零點存在定理討論導函數的零點即可.

(1)證明：當時,,則,

當時,,則,又因為,

所以當時,,僅時,,

所以在上是單調遞減,所以,即.

(2),因為,所以,

①當時,恒成立,所以在上單調遞增,沒有極值點.

②當時,在區間上單調遞增,

因為.

當時,,

所以在上單調遞減,沒有極值點.

當時,,所以存在,使

當時,時,

所以在處取得極小值,為極小值點.

綜上可知,若函數在上存在極值點,則實數.